من نحن


تلعب الرموز الرياضياتية و المصطلحات الخاصة و المكون البياني دورا محوريا لإصال و فهم العلوم، فالترميز مثلا يعبر على مفاهيم خاصة ومحددة و بصفة دقيقة، فعادة ما يكون أختزال للمفهوم المعبر عنه فلهذا لا يمكن فصله عن اللغة الأم٠
نحرص في هذا العمل على:
1. استعمال الحرف العربي في الرموز المستعملة في التعبيرات الرياضياتية، بإضافة خطوط و أذيال في صورة الحرف٠ مع إستخدام الحروف اليونانية و اللاتينة على أن لا تستعمل في التراكيب الرمزية
2. استحداث و اعتماد منظومة رموز عربية النطق والدلالة والشكل يتماشى مع الكتابة من اليمين إلى اليسار، (التكامل، المجموع، النهاية، الجذر،...)٠

و السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

عموميات حول الدوال، دوال ابتدائية

عموميات حول الدوال
1.


العنصر ب يسمى صورة العنصر 2

العنصر 2 يسمى سابق العنصر ب

2.

الإنعكاس (الهندسة)

ا. ط نقطة من المستوى خارج المستقيم (هـ و)

يتم إسقاط خط عمودي على الخط (هـ و) المستعمل كمحور الإنعكاس، ثم مد الخط بشكل مستقيم في الجهة الأخرى من المحور وبنفس المسافة٠ 

النقطة التي نصل إليها تسمى صورة النقطة ط بالإنعكاس عن المستقيم (هـ و))٠

ب. ط نقطة من المستقيم (هـ و)

إذا كانت النقطة ا  تنتمي إلى محور الإنعكاس (أي المستقيم (هـ و)) فإن صورتها هي نفسها٠

تعريف
التطبيق هو كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق عنصرا واحدا وواحدا فقط من مجموعة تدعى المستقر.   
تعريف
الدالة أو التابع هو كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق بعنصر واحد في معظم الحال من مجموعة تدعى المستقر.

نرمز للدوال و التطبيقات عادة بالحروف دا، عا، تا.... و للمتغيرات بِالحروف ش، س، ص، ع،... و للدالة و التطببيق عا للمتغير س، بِ: 

العنصر عا(س) يسمى صورة العنصر س بالدالة عا
العنصر س يسمى سابق العنصر عا(س) بالدالة عا

نكتب مثلا الدالة العددية ها للمتغير الحقيقي س ( منطلقها و مستقرها  مجموعة الاعداد الحقيقية): التي تربط بكل عدد حقيقي س، العدد الحقيقي ش2 + 1 (إذا كان موجود) 


أمثلة لدوال معرفة بمعادلات جبرية
د(ش) = 5ش1، د دالة عددية للمتغير الحقيقي ش
د(ش)= ش2 7ش + 1، د دالة عددية للمتغير الحقيقي ش 


تمرين تطبيقي:
نعتبر الدالة العددية عا(س) ش2 4ش  1
  1. أحسب صورة العدد 0
  2. حدد سوابق العدد 5
  3. أحسب صورة 1 
  4. حدد سوابق العدد 1
  5. حدد صورة العدد 1

مجال تعريف دالة رياضية
مجال التعريف هو مجموعة جزئية من المنطلق، مجموعة العناصر التي لها صورة فى المستقر. 

أمثلة
مجموعة تعريف الدالة العددية د للمتغير الحقيقي ش المعرفة بما يلي: د(ش) = ش
هي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة،  ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ بالرمز ح+

مجموعة تعريف دالة المقلوب هي مجموعة الأعداد الحقيقية الغير منعدمة،  ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ بالرمز  ح*

تمرين تطبيقي
حدد مجموعة تعريف الدالة العددية المعرفة بما يلي: عا(س) = جذر(س+1)


التمثيل المبياني وتغيرات الدوال

نظام الإحداثيات، المستقـيم الـمــدرج

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Number_line.svg/440px-Number_line.svg.png

المستقيم (اب) يسمى مستقيم مدرج، وتسمى النقطة ا نقطة الأصل، و طول القطعة [اب] وحدة الطول أو التدرج، نسمي النقطة ا نقطة الأصل

نسمي العدد 0 أفصــول النقطة ا و العدد 1 أفصــول النقطة ب

كل نقطة ن من المستقيم مرتبطة بعدد يسمى إحداثية النقطة ن٬ و نكتب : ن(س

نظام الإحداثيات ثنائي الأبعاد، المعلم في المستوى


نعتبر (اب) و (ات) مستقيمين مدرجين على التوالي بواسطة [اب] و[ات]  و متعامدين في النقطة ا٬ يسمى تقاطع المحاور بالنقطة الأصل

(طول القطعة [اب] وحدة الطول على المحور  (اب)، كما أن طول القطعة [ات] وحدة الطول على المحور  (ات))

نقول أن المستوى منسوب إلى معــلم متعامد
نرمز لمعلم في المستوى بالرمــز  :  ( ا ؛ب ؛ ت) 
نسمي المستقيم (اب)  :  محــور الأفاصيل
نسمي المستقيم (ات)  :  محــور الأراتيب
إذا كان   اب  =  ات  نقول أن المستوى منسوب إلى معــلم ممنظم و متعامد

كل نقطة ن من المستوى مرتبطة بعددين يسميان  إحداثيتي النقطة: الإسقاط العمودي للنقطة ن على محور الفواصل و يسمى أفصول النقطة ن، و الإسقاط العمودي للنقطة ن على محور الأراتيب و يسمى أرتوب النقطة ن٠ و نكتب: ن( س ؛ ص)٠


التمثيل المبياني



لتكن ها دالة عددية،  و (ا ؛ ب ؛ ت) معلما للمستوى٠
التمثيل المبياني للدالة ها، أو منحنى الدالة ها، هو مجموعة نقط  المستوى ن(س ؛ ص) بحيث س تنتمي لِمجموعة تعريف الدلة ها،  و ص= ها(س)٠


تغيرات الدوال

 تدعى الدالة العددية دا المعرفة على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية دالة تصاعدية إذا كانت تحافظ على الترتيب٬  أي لكل س ≤ ش يتحقّق أيضًا دا(س) ≤  دا(ش)، (أنظر رسم 1)٠  

تدعى الدالة العددية دا المعرفة على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية دالة تنازلية إذا كانت تعكس آلترتيب٬  أي لكل س ≤ ش يتحقّق أيضًا دا(س دا(ش)، (أنظر رسم 2)٠ 

مثال :
نعتبر التمثيل المبياني للدالة العددية هـا للمتغير الحقيقيقي س التلي

الدالة العددية هـا دالة تنازلية من أجل كل س ≤ 3 (أي في  المجال...)،  و تصاعدية  من أجل كل س  3 (أي في  المجال...)٠

و نلخص هذا كما يلي



كيف نتعرف على تغيرات الدوال جبريا؟ 
نعتبر الدالة العددية  هـا للمتغير الحقيقيقي س المعرفة على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية
للتعرف عن تغيراتها في مجال ما من مجموعة تعريفها ندرس إشارة النسبة
من أجل كل س، ص من المجال٠

إذا كانت هذه النسبة موجبة (س  ـ ص و عـا(س) ـ عـا(ص) لهم نفس الإشارة) فالدالة تحافظ على الترتيب  أي تصاعدية (في المجال الذي تتحقق فية إشارة النسبة)٠
و إذا كانت هذه النسبة سالبة (أشارة س  ـ ص عكس إشارة عـا(س) ـ عـا(ص)) فالدالة تعكس الترتيب أي تنازلية  (في المجال الذي تتحقق فية إشارة النسبة)٠

تمرين تطبيقي:
ادرس تغيرات الدوال التالية 
  1. الدالة العددية عا(س) = 4ش  1
  2. الدالة العددية عا(س) = اش  ، حيث ا عدد حقيقي معلوم لا يتعلق بالمتغير 
  3. الدالة العددية عا(س) ش2 ، في مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة،  ح+
  4.  الدالة العددية عا(س) ش، في مجموعة الأعداد الحقيقية

دوال ابتدائية

الدالة الخطيــــة
تعريف :
مثال :
التمثيل المبياني لدالة خطية
تعريف :
مثال :

الدالة التآلفيــــة
تعريف :
مثال :
التمثيل المبياني لدالة تآلفيــــة
تعريف :
مثال :
خــاصيـة:
تمارين تطبيقية:

دراسة الدوال الحدودية من الدرجة الثانية
الشلجم أو اللفت

الدالة الحدودية من الدرجة الثانية هي التطبيق الذي يربط بكل عنصر ش من مجموعة الاعداد الحقيقية بالعدد الحقيقي
د(ش)=اش2 بش + ت،  حيث ا، ب، ت أعداد حقيقية معلومة لا تتعلق بالمتغير ش، ا عدد غير منعدم
   
بصفة عامة يمكن كتابة د(ش) على الشكل التالي
  د(ش) = ا(ش + ب:2ا)2 + ت – ب2 : 4ا


التمثيل المبياني للدالة الحدودية من الدرجة الثانية في المستوى منسوب إلى معلم متعامد، قطع مكافئ رأسه النقطة ذات الأفصول –ب:2ا٠  على الشكل الموضح: منحنى متناظر حول المحور ش = –ب:2ا، رأسه النقطة ذات الأفصول –ب:2ا٠





.
دراسة دالة المقلوب
...................
............

التوابع المثلثية
  
الراديان
الراديان (Radian) هي وحدة قياس للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات المستخدمة في الرياضيات والفيزياء



"في المستوى الأقليدي"

 النسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابت رياضي (عدد حقيقي لا يتغير مع تغيير قطرالدائرة) نرمز له بالحرف ط
  π أو بالحرف اليوناني


تعريف
الراديان (واحد) هو قياس زاوية تحدد قوساً (دائريا) طوله مساوي لشعاع الدائرة










العلاقة المستعملة للتحويل بين الوحدتين الدرجة و الرديان هي

 ط رديان = 180 درجة
  راديان = 180 درجة π

أي راديان واحد يساوي تقريبا 57،29578 درجة 


أمثلة
قياس زاوية مستقيمة (180 درجة) بالراديان ط راديان


ملاحظة
بشكل عام نكتب الزاوية بدون أي علامة، و يقصد أن القيمة هي بالراديان


الدائرة المثلثية
الدائرة المثلثية (دائرة الوحدة) هي دائرة في المستوى الأقليدي منسوب الى معلم متعامد ممنظم (مدرج)، مركزها أصل المعلم و شعاعها يساوي الواحد، حيث الاتجاه الموجب هو اتجاه عكس عقارب الساعة


http://2.bp.blogspot.com/-h5v9_EqKl-k/UM283vj25vI/AAAAAAAADfU/KnVfq-hJOs0/s1600/%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D9%8A%D8%A9+%D8%AA%D8%B9%D8%B1%D9%8A%D9%81.gif
التوابع المثلثية


تعرفنا في الدرس السابق (أول عناصر الهندسة، حقائق عن المثلثات و الدوائر) عن الدوال المثلثية  للزوايا من 0 إلى 90 درجة، على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم الزاوية٠
دائرة الوحدة ستمكننا بتوسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا٠ 


نعتبر المستوى منسوب إلى معلم  (ا ؛ ب ؛ ت) ممنظم و متعامد٠



كل نقطة ن من دائرة الوحدة، تشكل زاوية رأسها النقطة (0، 0) و ضلعيها محور الأفاصيل الموجب و الشعاع الذي مبدأ النقطة (0، 0) إلى النقطة ن، حيث الاتجاه الموجب هو اتجاه عكس عقارب الساعة. س قياس هذه الزاوية يساوي طول القوس المقابل لها٬ و محصور بين 0 و 2ط

وعكسيا كل عدد حقيقي س محصور بين 0  و 2ط يحدد نقطة وحيدة ن من الدائرة بحيث قياس الزاوية هو العدد س

تعريف
جيب تمام العدد الحقيقي س هو أفصول النقطة ن، أي الإسقاط العمودي للنقطة ن على محور الفواصل، و نرمز له بِ تجيب(س)٠
جيب  العدد الحقيقي س هو أرتوب النقطة م، أي الإسقاط العمودي للنقطة م على محور الأراتيب، و نرمز له بِ جيب(س)٠



https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQoArDmo0kCpEG4mG2jTsIk6WS2X8oNtdwYt95zTgjoWxDNJUzsIQ
بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة. مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها (جا(س), جتا(س)
 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Unit_circle_angles.svg/300px-Unit_circle_angles.svg.png
علاقات اساسية



 التوابع المثلثية العكسية 
































 الدالة العكسية
قوس جيب الزاوية      arcsinus                  
قوس جيب تمام الزاوية   arccosinus
  قوس ظل الزاوية arctangente




  الدالة
جيب الزاوية           sinus 
جيب تمام الزاوية        cosinus
ظل الزاوية     tangente

















دراسة التوابع المثلثية
........................
........................

أول عناصر الهندسة، حقائق عن المثلثات و الدوائر

أول عناصر الهندسة

النقطة
في الهندسة الرياضية، النقطة عبارة عن كائن رياضي عديم الأبعاد يمثل مفهوما أساسيا في الهندسة الرياضية. تتميز النقطة بأنها تملك موقعا في الفراغ لكن بدون حجم ومساحة ولا أبعاد فهي تمثل معلومات عن الموقع فقط دون أي خواص رياضية أخرى٠

المستقيم
المستقيم خط مستقيم يمتد إلى ما لا نهاية من الجهتين٠
  المستقيم ليس له نقطة بداية ولا نقطة نهاية

المستقيم لا يمكن قياس طوله
الترقيم
نرمز للمستقيم الدي يمر بالنقطة ا والنقطة ب بالرمز: (ا ب)٠


نصف مستقيم
نصف مستقيم هو جزء من خط مستقيم  يكون محدودا من جهة واحدة فقط 
نصف مستقيم لا يمكن قياس طوله
 الترقيم
نرمز للمستقيم المحدود بالنقطة ا، و  يمربالنقطة ب بالرمز: [ا ب)٠

 
القطعة المستقيمة
القطعة المستقيمة هي جزء من خط مستقيم محددة بنقطتين تسميان نقطتي النهاية وتضم جميع النقاط الواقعة على المستقيم بين هاتين النقطتين٠
 القطعة هي جزء من خط مستقيم محدود من طرفيه و يمكن قياس طولها٠
الترقيم
نرمز للقطعة المستقيمة التي تمر بالنقطة ا والنقطة ب بالرمز: [ أ ب ] أو [  ب أ ]، والنقطتان أ وَ ب هما طرفاها٠
و نرمز لطول القطعة المستقيمة [ا ب] بالرمز: ا ب








 الزاوية
الزاوية هي الشّكل الهندسي الناتج عن التقاء شعاعين بنقطة بدايتهما تسمى رأس الزاوية.



التعامد
يعتبر مستقيمان متعامدين على بعضهما إذا شكلا زوايا متجاورة متطابقة. تسمى زوايا قائمة (قياس الزاوية القائمة يساوي 90° درجة)٠
جميع الزوايا المكونة من تعامد خطين مستقيمين هي زوايا قائمة. وبالعكس فإن أي
 خطين مستقيمين يشكلان زوايا قائمة فهما متعامدان٠

يرمز لعملية التعامد بين خطين بالعلامة \perp 


التوازي
يعتبر مستقيمان (في المستوى) متوازيين إذ  استحالة التقاءهما٠ 
يرمز لعملية التوازي بين خطين بالعلامة  \parallel


إذا كان مستقيمان متعامدان، فكل مستقيم موازي لأحدهما يكون عموديا على الآخر.
إذا كان مستقيمان متوازيان فكل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر.


المسافة بين نقطة وخط مستقيم 



ن نقطة من المستوى٬ أقرب مسافة تفصل النقطة ن عن الخط المستقيم (م) هي طول القطعة [ن ا]٠ تسمى المسافة أو (المسافة الدنيا) بين النقطة ن الخط المستقيم  (م)، و النقطة ا تسمى الإسقاط العمودي للنقطة ن على المستقيم (م)٠

تعريف

المسافة أو (المسافة الدنيا) بين نقطة ما من المستوى و خط مستقيم ما من المستوى
هي أقرب مسافة تفصل النقطة عن الخط المستقيم٠

الدائرة

الدائرة هي المحل الهندسي للنقاط المتصلة ببعضها البعض والواقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، والتي تسمى مركز الدائرة. المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة وأي نقطة منها تسمى شعاعا أو نصف قطر٠ 
 
المماس للدائـرة 
المماس هو ذلك المستقيم الذي يلاقي الدائرة في نقطة واحدة تعرف بنقطة تماسه معها (نقطة التماس)٠


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ar/thumb/c/c9/CIRCLE_LINES_Arabic.svg/440px-CIRCLE_LINES_Arabic.svg.png 

المماس للدائـرة يكون عمودياً على نصف القطر المار بنقطة التماس٠
المستقيم العمودي على نصف القطر في دائرة عند نهايته يكون مماساً للدائرة٠ 



المثلث

تعريف المثلث المثلث هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي قطع مستقيمة٠
أنواع المثلثات
مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية٠
مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان٠
مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث٠

حساب زوايا المثلث الداخلية: مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية تساوي 180 درجة٠

حساب مساحة المثلث: المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

 

نقط ومستقيمات ودوائر مرتبطة بالمثلث

 المتوسطات العمودية
   تعريف المتوسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد أضلاع المثلث في منتصفه ويكون عمودياً عليه


خاصية تتقاطع المتوسطات العمودية  الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمر من رؤوس المثلث ويكون تقاطع متوسطين عموديين فقط كافياً لمعرفة مركز هذه الدائرة



تقاطع المتوسطات العمودية في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

المثلث القائم و الدائرة المحيطة به
خاصية إذا كان مركز الدائرة المحيطة بالمثلث على ضلع من أضلاع المثلث فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة أي المثلث قائم ٬ كما أن إذا كان المثلث قائم فإن مركز الدائرة المحيطة به هو منتصف وتره٠







 
الارتفاعات
تعريف: الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث ويكون عمودياً غلى الضلع المقابل للرأس



خاصية: يمثل الارتفاع البعد بين الرأس والضلغ المقابل له كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم 



نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم



منصفات الزوايا

تعريف منصف الزاوية هو مستقيم يمر من أحد رؤس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين
خاصية تتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمس أضلاع المثلث الثلاثة ويكون تقاطع منصفين فقط كافياً لمعرفة مركز هذه الدائرة



تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث
المتوسطات
تعريف المتوسط هو قطعة مستقيم تنطلق من أحد رؤس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس
خاصية تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع متوسطين فقط كافياً لمعرفة مركز الثقل

كما يكون البعد بين رأس المثلث ومركز الثقل مساوياً لـ\frac{2}{3} من طول المتوسط الصادر من ذلك الرأس



المتوسطات ومركز الثقل




  
مبرهنة فيثاغورس


خاصية مبرهنة فيثاغورس: في المثلث القائم، مربع طول الوتر ( أ ) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين ( ب ) ، ( حـ )٠
أي :  أ2 =  ب2 + حـ2 

مبرهنة فيثاغورس العكسية

 خاصية: في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر٠





الحساب المثلثي، تعميم نظرية فيثاغورث

 الحساب المثلثي


في الرياضيات، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية ، ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم الزاوية

في المثلث أ ب ج القائم الزاوية في إ

جا أو جيب الزاوية
هـ = الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر
جتا أو جيب التمام الزاوية
هـ =  الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر
ظا أو ظل الزاوية
هـ = الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الضلع المجاور لهاكما أن: ظل الزاوية = جيب الزاوية مقسوما جيب تمام الزاوية



من خلال التعريفات يمكن أن نُبيِّن أن
جيب و جيب تمام زاوية ما عددان بين 0 و 1 -
ظل الزاوية = جيب الزاوية مقسوما جيب تمام الزاوية  -
جا(هـ) = جتا(90  هـ)٠ -

خاصية
جا2 (هـ) + جتا2 (هـ) =1



الرمزالمصطلح باللغة الفرنسيةالمصطلح باللغة العربية
جاsinusجيب
جتاcosinusجيب تمام 
ظاtangenteظل

Le coté opposéالضلع المقابل

Le cote adjacentالضلع المجاور

L'hypoténuseالوتر


مثال
في المثلث أ ب ج القائم الزاوية في أ
طول  [أج] = 15 سنتيمتر
طول  [أب] = 5 سنتيمتر
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ar/8/89/Tan-ar.JPG
فيكون ظل الزاوية ب: أج ÷ أب = 15÷ 5 = 3

عند معرفة قيم ضلعين أو قيم ضلع وزاوية، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قوانين الجيب وقوانين جيب تمام  وقوانين ظل الزاوية و الدوال العكسية
































 الدالة العكسية
قوس جيب الزاوية      arcsinus                  
قوس جيب تمام الزاوية   arccosinus
  قوس ظل الزاوية arctangente




  الدالة
جيب الزاوية           sinus 
جيب تمام الزاوية        cosinus
ظل الزاوية     tangente
















مثال
في المثلث أ ب ج القائم الزاوية في أ
طول  [أج] = 15 سنتيمتر
طول  [أب] = 5 سنتيمتر
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ar/8/89/Tan-ar.JPG
فيكون ظل الزاوية ب: أج ÷ أب = 15÷ 5 = 3

    (و يكون قياس الزاوية ب =  قوس ظل الزاوية (3

 

بهذا نكون قد عرفنا التوابع المثلثية للزوايا من 0 إلى 90 درجة ، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة

دائرة الوحدة


بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة.مقدرة بالدرجات مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها
  
 مبرهنة الكاشي (تعميم نظرية فيثاغورث): مربع طول الضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاوية المحصورة بينهما"٠

الزوايا المركزية والزوايا المحيطية




1) الزاوية المركزية، الزاوية المحيطية:

تعريف:
الزاوية المركزية هي كل زاوية رأسها مركز دائرة و ضلعاها يقطعان الدائرة.
الزاوية المحيطية هي كل زاوية رأسها ينتمي إلى دارة و ضلعاها يقطعان الدائرة.


نعتبر الشكــل جانبه:


لدينا الزاوية  س م ص  زاوية مركزية تحصر القوص س ص             
لدينا الزاوية  س ع ص  زاوية محيطية تحصر القوص س ص
لدينا الزاوية  س ب ص  زاوية محيطية تحصر القوص س ص

حالة خاصة، الزاوية المماسية:


لاحظ الشكــل جانبه بحيث المستقيم (ب ت) مماس للدئرة في النقطة ب
الزاوية ج ب ت زاوية محيطية تحصر القوس ج ب

3) خصــائص:


تعريف :
تكون زاوية مركزية مرتبطة بزاوية محيطية إذا كانتا تحصران نفس القــوس.

خــاصية :
زاويتان محيطيتان تحصران نفس القوس تكونان مقايستين
قياس زاوية محيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرتبطة بها

مثال :


             
لدينا الزاوية  س م ص  زاوية مركزية تحصر القوص س ص
لدينا الزاوية  س ع ص  زاوية محيطية تحصر القوص س ص
لدينا الزاوية  س ب ص  زاوية محيطية تحصر القوص س ص


إذن: م =  2 × ع =  2 × ب

حالة خاصة
لاحظ الشكــل جانبه بحيث المستقيم (ب ت) مماس للدئرة في النقطة ب
لدينا:   الزاوية ت بج زاوية محيطية تحصر القوس بج
إذن: الزاوية المركزية  ب م ج مرتبطة بالزاوية المحيطية  ت بج   لأنهما تحصران نفس القوس بج  






إذن: م =  2 × ب  


تمارين

تمرين تطبيقي1: لديك مجموعة من المثلثات قوائم الزاوية وعُلِمَ في كل حالة منها طولي ضلعين كما هو مبين في الجدول التالي، احسب طول الضلع الثالث









تمرين تطبيقي2 
      مثلث حيث  ABC
 AB=6cm و AC=8cm و BC=10cm
قائم الزاوية  ABC  بَيِّن أن المثلث




تمرين تطبيقي3 
      مثلث حيث  EFG
 FG = 3cm و EG = 5cm و EF = 8cm
قائم الزاوية ؟   EFG  هل المثلث




تمرين تطبيقي 4
أ ب ج مثلث قائم الزاوية في أ حيث
طول  [أج] = 10 سنتيمتر
قياس الزاوية ب =  60  درجة
احسب طول  [ب ج]

تمرين تطبيقي 5
في المثلث أ ب ج القائم الزاوية في أ
طول  [ب ج] = 5 سنتيمتر
طول  [أ ب] = 3 سنتيمتر
احسب قياس الزاوية ب




تمرين تطبيقي 6




تمرين تطبيقي 7

أنظر الشكل جانبه
EÂM   أحسب قيمة

        


تمرين تطبيقي 8


أنظر الشكل جانبه
z و قيمة  الزاوية x قارن قيمة الزاوية

alfarjimohammed@gmail.com