الحساب الحرفي، المعادلات، المتراجحات ، معادلات مترابطة

تمارين  تمرين6 بسط االعبارات التالية : ش = 15س – 5 ص+ 7 – س + 10 س – 10 – (7س – 13) =   س – 10 + (7س – 13) =  انشر العبارات التالية 7(5س – 2) =  (س – 13)(2 س – 3) =  عمل العبارات التالية  نتعرف على العامل المشترك ثم نعمل  = ش2 + 6ش  15س – 2 =  7(15س – 21) =  4(3 س – 1) – (7س + 13)(3 س – 1) =  4(6 س – 2) – (7س + 13)(3 س – 1) = حل المعادلة  4(3 س – 1) – (7س + 13)(3 س – 1) =  0 و  تحقق من صحة الحل   تمرين7 حل المعادلة  5س – 2 = 8  و  تحقق من صحة الحل  حل المعادلة  3س  – 2   = 5س + 4  و تحقق من صحة الحل  حل المعادلة  (3س  – 2) ÷ 3  = (5س + 4) ÷  2   و  تحقق من صحة الحل   تمرين8  حل المعادلات التالية:  0    =  ش2 + 2ش +  1   0  =  ش2 − 1   0  =   ش2 −   5   ش2 + 6ش = 0      تمرين9 بكاتبة العبارة  د =  ش2 + 6ش − 7  على الشكل التالي د =  ش2 + 3×2ش + 9 − 9 − 7 استنتج أن د = (ش + 3)2 - 16 تم عمل وحل المعادلة 0 =  ش2 + 6ش − 7 تمرين10 بكاتبة العبارة  د =  ش2 + 10ش − 7  على الشكل التالي د =  ش2 + 5×2ش + 25 − 25 − 7   استنتج أن د = (ش + 5)2 − 32 تم عمل وحل المعادلة 0 =  ش2 + 10ش − 7  0 = استنتج حل المعادلة  5ش2 + 50ش − 35  تمرين11  حل المعادلات التالية:  0 = ش2 + 2ش + 10  0 = ش2 + 2ش − 1  0 = ش4 + 2ش2 + 10  تمرين12  حل المتراجحات التالية  ش  <  5−   ش  <  2ش +  2  ش  − 1 >  2ش +  2 تمرين13  حل المتراجحات التالية   س2 (3 س – 1 )  <  0   س + 1)(3 س – 1 )  <  0) تمرين14 حل النظمة التالية بالطرق الثلاثة ـ2 س + 3 ش = – 1 ـ3 س – 5 ش =  2 طريقة التعويض. مـن إحـدى الـمعادلتين؛ نجد قيمة أحـد المجهولين بدلالة الآخـر؛ ثم نعوضه في المعادلة الأخرى٠  طريقة التآلفية الخطية. لـكي نـحـتفظ بـأحـد الـمجـهوليـن ( لـكي نتمكن من حساب قيمته) نـضرب المعادلة من معادلتي النظمة في معامل مناسب لنحصل على معاملين متقابلين بالنسبة للمجهول الآخر؛ ثم نجمع المعادلتين الـمحصل عليهما طرفا بطرف٠ طريقة الحل المبياني (هندسية). ننشئ المستقيمين في معلم متعامد ممنظم؛ المعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين لها عدد لا نهائي، يمثلها خط مستقيم في المستوى٠ تمرين15 لتكن س٬ ص٬  عددين حقيقيين  بحيث  ص <   س قارن العددين س − 10 و ص − 10 قارن العددين  − س     و    − ص     تمرين16 لتكن س٬ ص٬  عددين حقيقيين بحيث س <  1 ،    ص <  2  بيٌِن أن 2 س + 3 ص <   8 الدرس 1) الحساب الحرفي عبارة جبرية، تعريف وأمثلة أمثلة: ک = 3س – 4 ٠ ش = س – 5 ص – 7س + 13 تبسيط عبارة جبرية تعريف: تبسيط عبارة جبرية يعني كتابتها بأقل ما يمكن من الحدود٠ مثل: بسط العبارة: ش = 10س – 5 ص+ 7 – س + 13 بعد التبسيط ش = 9س – 5 ص + 20  خاصية حذف الاقواس التي تسبقهما اشارة ناقص أو زائد: إشارة ناقص أو زائد التي تسبق القوسين ليست هي إشارة الحد الاول الموجود داخل القوس وانما هي إشارة المجموع او الفرق المكتوب داخل القوس ككل ٠ خاصية: في عبارة جبرية يمكن حذف القوسين المسبوقين بالإشارة زائد و ذلك دون ان تغيروا إشارة الحدود الموجودة بين القوسين٠ في عبارة جبرية يمكن حذف القوسين المسبوقين بالإشارة ناقص مع تغير إشارة كل حد موجود بين القوسين٠ عند تبسيط عبارة جبرية يمكن استعمال خاصية توزيع الضرب على الجمع و على الطرح كما يمكن استعمال قاعدتي حذف الاقواس٠   أمثلة: س – 1 – (7س – 13) = س – 1 – 7س +  13  = –6س + 12 س – 1 + (7س – 13) = س – 1 + 7س +  13  =  6س –  14 نشر عبارة جبرية تعريف:  نشر جداء هو كتابته على شكل مجموع أو فرق خاصية توزيع الضرب على الجمع والطرح: ا٬ ب٬ س٬ ش٬ أعداد حقيقية ا(س + ش) = ا س + ا ش ا(س – ش) = ا س – ا ش (ا + ب)(س + ش) = ا س + ا ش + ب س + ب ش (ا + ب)(س – ش) = ا س – ا ش + ب س – ب ش (ا – ب)(س + ش) = ا س + ا ش – ب س – ب ش (ا – ب)(س – ش) = ا س – ا ش – ب س + ب ش أمثلة: 7(3س – 5 ) = 21س – 35 (ش – 13)(3 س – 5 ) = 3 ش س –  5ش – 39س + 65       التعميل   تعريف:   تعميل مجموع أو فرق هو كتابته على شكل جداء التعميل بِواسطة العامل المشترك عند تعميل عبارة جبرية نتعرف على العامل المشترك ثم نعمل   أمثلة: ک = 12س – 20 نتعرف على العامل المشترك ثم نعمل العدد 4 هو العامل المشترك ک =  4 × 3س – 4 × 5 = 4(3 س – 5 )٠ ک =  30(3 س – 5 ) – (7س + 13)(3 س – 5 )   = (3 س – 5 ) [30 – (7س + 13)]   = (3 س – 5 ) [30 – 7س – 13]   = (3 س – 5 ) (7س – 17)٠ المتطابقات الهامة (يتبع) 2) المعادلات من الدرجة الاولى: معادلة، تعريف وأمثلة: تعريف:  المعادلة في الرياضيات، هي عبارة رياضياتية مؤلفة من رموز رياضياتية، تنص على مساواة تعبيرين رياضيتين بِمتغيرات جبرية، ويعبر عن هذه المساواة عن طريق إشارة التساوي٠ المجاهيل هي اعداد غير معلومة يرمز لها بـ (ش، س، ص ،ع ،ل...الخ)٠ ونقول أن المعادلة من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة لِ المجاهيل تظهر في المعادلة هي واحد٠ أمثلة: 3س  = 15             س − 1 = 11                 س ÷ 3 = 11 معادلات فى مجهول واحد أو معادلات فى متغير واحد  س٠ 3س تعنى ان العدد 3 مضروب فى الرمز س٠ حل معادلة: تعريف:   حل المعادلة يعنى إيجاد المجاهيل التى تحقق المعادلة، ندعو هذه القيم جذور المعادلة٠                    أمثلة:  نعتبر المعادلة التالية: 3س = 15 حل المعادلة 3س = 15 تعني ما هو العدد المجهول الذي اذا ضربناه فى العدد 3 كان الناتج هو العدد 15؟ المعادلة 3س = 15 معادلة غير صحيحة من أجل معظم القيم التي يمكن أن تعطى لِ س، لكنها تكون صحيحة فقط في س= 3، إذن جذر المعادلة أو حل المعادلة  هو العدد٠3  نعتبر المعادلة التالية:  س + 4 = 7 حل المعادلة س + 4 = 7،   تعني ما هو العدد المجهول الذي اذا اضيف الى العدد 4 كان الناتج 7؟  نعتبر المعادلة التالية:  2س + 1 = 11 ففي المعادلة 2س + 1 = 11 نقول أن العدد 5 هو حلاً لهذه المعادلة لأن (2 × 5) + 1 = 11   نعتبر المعادلة التالية: 5 س – 1 = 7 وفي المعادلة 5س – 1 = 7 نقول أن العدد 1 هو ليس حلاً للمعادلة لأن (5 × 1) – 1 = 4         خاصية:  تتحقق الخصائص التالية على أي معادلة محققة، وذلك من أجل الحصول على معادلة جديدة · من الممكن إضافة أي كمية إلى طرفي المعادلة · من الممكن طرح أي كمية من طرفي المعادلة · من الممكن ضرب طرفي المعادلة بأي كمية · من الممكن قسمة طرفي المعادلة على أي كمية لاتساوي الصفر · بشكل عام من الممكن تطبيق أي دالة على طرفي المعادلة الطرق الجبرية لحل المعادلات فى مجهول واحد من الدرجة الاولى: أمثلة:     نعتبر المعادلات التالية: 3س – 2 = 13 حل المعادلة  3س – 2 = 13  والتحقق من صحة الحل : الحل : ما هي العملية الحسابية التي نقوم بها لجعل هذه المعادلة على صورة  أس = ب   إذا أضفنا العدد 2 إلى طرفي المعادلة 3س – 2 + 2 = 13 + 2 فإننا نحصل على : 3س = 15                    المعادلة الآن على صورة أس = ب ما هي العملية الحسابية التي نقوم بها لجعل هذه المعادلة على صورة   س = …   نقسم طرفي المعادلة على 3 3س  3 : 15 =  3 : إذن س = 5، إذن جذر المعادلة  3س – 2 = 13  هو العدد٠5  التحقق من صحة الحل: (3 × 5) – 2 = 13. نعتبر المعادلات التالية: 3س  – 2   = س + 4   حل المعادلة  3س  – 2   = س + 4  والتحقق من صحة الحل : الحل : 3س – 2 = س + 4   3س –   2  +  2 = س +  4 +  2  3س = س + 6 3س-  س  = س +  - 6  س 2س  6  =  2س  2 : 6  =2 :  إذن س = 3، إذن جذر المعادلة 3س – 2 = س + 4  هو العدد٠3  التحقق من صحة الحل: 3 × 7  = 2 – 3   7  =  3 + 4 إذن س = 3 تحقق المعادلة 3س – 2 = س + 4 تمرين: حل المعادلات التالية س –  4  = 0 3س =  6 3س –  4  = 0 5س –   2 = –س + 4 3) نـظمـة مـعادلـتـين من الـدرجـة الأولى بـمجهـوليـن الصورة العامة لنـظمـة مـعادلـتـين من الـدرجـة الأولى بـمجهـوليـن س و ش:  أس + ب ش = د جـ س + حـ ش =  ط بحيث المعاملات أ ، ب ، جـ ،  حـ ،  د ،  ط ،  تمثل أعداد معلومة. الطرق الجبرية لحل نـظمـة مـعادلـتـين من الـدرجـة الأولى بـمجهـوليـن: طريقة التعويض: مـن إحـدى الـمعادلتين؛ نجد قيمة أحـد المجهولين بدلالة الآخـر؛ ثم نعوضه في المعادلة الأخرى٠ طريقة التآلفية الخطية: لـكي نـحـتفظ بـأحـد الـمجـهوليـن ( لـكي نتمكن من حساب قيمته) نـضرب المعادلة من معادلتي النظمة في معامل مناسب لنحصل على معاملين متقابلين بالنسبة للمجهول الآخر؛ ثم نجمع المعادلتين الـمحصل عليهما طرفا بطرف٠ الطرق الهندسية لحل نـظمـة مـعادلـتـين من الـدرجـة الأولى بـمجهـوليـن: طريقة الحل المبياني (الهندسية). ننشئ المستقيمين في معلم متعامد ممنظم: المعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين لها عدد لا نهائي، يمثلها خط مستقيم في المستوى٠ انظر درس الدول (الدرس الخامس)٠ مثال: حل النظمة  س + 2 ش = 1 2 س + 4 ش =  3 4) المتراجحات من الدرجة الاولى:  لتكن ا٬ ب٬  عددين حقيقيين ا  < ب    تكافئ      ب –  ا > 0 لتكن ا٬ ب٬  ك٬ ثلاثة أعداد حقيقية ا <  ب    تكافئ    ا +  ك  <  ب +  ك لتكن ا٬ ب٬  ك٬ ثلاثة أعداد حقيقية بحيث ك عدد موجب ا <  ب    تكافئ   ك ا <  ك ب لتكن ا٬ ب٬  ك٬ ثلاثة أعداد حقيقية بحيث ك عدد سالب ا <  ب    تكافئ   ك ا >  ك ب 5) المعادلات من الدرجة الثانية: تعريف: المعادلة في الرياضيات، هي عبارة رياضياتية مؤلفة من رموز رياضياتية، تنص على مساواة تعبيرين رياضيتين بِمتغيرات جبرية، ويعبر عن هذه المساواة عن طريق إشارة التساوي٠ المجاهيل هي اعداد غير معلومة يرمز لها بـ (ش، س، ص ،ع ،ل...الخ)٠ ونقول أن المعادلة من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة لِ المجاهيل تظهر في المعادلة هي إثنان٠ الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد هي :     أ س2 + ب س + جـ  -    المعاملات أ ، ب ، جـ تمثل أعداد . -    المجهول فيها واحد هو س . -    أكبر أس مرفوع له المجهول س هو 2 أي أن هذه المعادلة ذات مجهول واحد من الدرجة الثانية . الطرق الجبرية لحل المعادلات فى مجهول واحد من الدرجة الثانية: خاصية من أجل كل عدد حقيقي أ، ب أ ب = 0  فإما أ = 0 أو ب =  0 ٠ طريقة تعميل حدودية من الدرجة الثانية (اكمال المربع). بصفة عامة يمكن كتابة  أ س2 + ب س + جـ  على الشكل التالي  أ س2 + ب س + جـ  =  أ(س + ب:2 أ) 2  + جـ  – ب 2 : 4 أ إما المعادلة لا تنعدم من أجل أي عدد حقيقي أو تنعدم في مجموعة الأعداد الحقيقية و في هذه الحالة نعمل بإستعمال المتطابقة الهامة الثالثة و نطبق الخاصية أ ب = 0 فإما أ = 0 أو ب =  0 ٠    طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد مثال: حل المعادلة س2 + 2 س + 5 = 0  س2 + 2 س + 5  = (س + 1 ) 2  + 5 – 1                                                   = (س + 1 ) 2  + 4 إذن  المعادلة  س2 + 2 س + 5 = 0 لا تنعدم من أجل أي عدد حقيقي مثال: حل المعادلة س2 – 4 س – 13 = 0 س2 – 4 س –  13  = (س – 2 ) 2  – 13 + 4                 = (س + 1 ) 2  – 9                 = (س + 1 – 3)(س + 1 + 3 )                  = (س  – 2)(س + 4 ) إذن س – 2 = 0 أو س + 4 = 0 إذن: س = 2 أو س = –4 6) المتراجحات من الدرجة الثانية: جدول اشارات حدوية من الدرجة الثانية alfarjimohammed@gmail.com