مجموعات الأعداد، الحسابيات

الرموز الرياضياتية العربية (و المصطلحات الخاصة و المكون البياني) المُستعملة في هذا الدرس

طــ: مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية

صـ: مجموعة الأعداد الصحيحة

كـ: مجموعة الأعداد الكسرية

حـ: مجموعة الأعداد الحقيقية

تمارين

 1تمرين

تحقق من صحة العبارات التالية

 19 = (13 − 10)5 − 4

 16− = (3 × 2 + 2 ÷ 4 - 12)5 - 4

2تمرين

أحسب وقدم النتيجة على شكل عدد كسري مختزل
.= (15  ÷   ÷ 5  − 2)5 +  
/

3تمرين
استعمل وحدة طول المستقيم المدرج التالي وارسم خط متصل طوله العدد 2√ و خط متصل طوله
 العدد  ط

 النسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابت رياضي (عدد حقيقي لا يتغير مع تغيير قطرالدائرة) نرمز له بالحرف ط)

 ( π أو بالحرف اليوناني

بين أن العدد عدد 2√   غير كسري٠


تمرين4

   احسب الأعداد التالية

= π5 + π2

= π5 − π2

= π5 + π2

= π5 × π2

= π5 ÷  π2

=  √2  5 × √2 2
= √3 5 × √2 2

= √2 ÷ √6

= √2 ÷ √8

= √2 ÷ √3

=  √2  5 + √2 2
=  √2  5 - √2 2

 
5تمرين

اكتب الأعداد التالية على شكل قوة

²5   ⁶5 
 ⁶5  ÷   ²5    
 ²5  ÷  ⁶5    

 ⁰5 ÷ 5    

 ²5 + ²5 + ²5 + ²5      

ما هي الكتابة العلمية للعدد 3000؟

ما هي الكتابة العلمية للعدد 7345,719 ؟

ما هي الكتابة العلمية للعدد −7345,719 ؟

الدرس

نظام العد،الخانات

نظام العد هو طريقة التعامل مع رسوم الأرقام للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها٠

علم الخانات مكننا من كتابة أي عدد و القيام بكل العمليات الحسابية٠ ففي النظام العشري مثلا تُستعمل رموز الأرقام من 0 إلى 9 في خاناته و تُعبِّر خاناته عن مضاعفات قوى العدد عشرة ٠

أمثلة

أمثلة لتفكيك عدد

خمسة وستون وتسع مائة وألف

1965 = 5 + 60 + 900 + 1000

سبعة وخمسون

50 + 7 = 57

العمليات الحسابية

علم الخانات مكننا من القيام بكل العمليات الحسابية

ففي عملية الجمع مثلا بين 6 و 57

فالعميلة تتم كالتالي

63 = 60 + 3 = 50 + 10 + 3 = 50 + 13 = 50 + 7+ 6 = 57 + 6

وكذلك في عملية الطرح مثلا

= 57 - 63

مجموعات الأعداد

1- مجموعة الأعداد الطبيعية ط 

2- مجموعة الأعداد الصحيحة ص

3- مجموعة الأعداد النسبية ك
القسمة هي توزيع بالتساوي. يُرمز إلى القسمة بالعلامة ÷.القسمة على الصفر هي عملية غير معرفة. وسبب ذلك هو أنه إذا ضُرب الصفر في عدد ما، فإن النتيجة تساوي دائما الصفر.في التعبير أ ÷ ب ، يسمى أ مقسوما أو بسطا، ويسمى ب مقسوما عليه أو مقاما.

يُشار أيضاً إلى عملية القسمة بواسطة خط أفقي يأتي فوقه المقسوم ويأتي تحته المقسوم عليه، على الصُّورةِ أ\ب.

أمثلة:
20 ÷ 4 = 5

5 يسمى خارج القسمة أو ناتج القسمة.

7 ÷ 3 =في المثل الثاني نتيجة القسمة غير منتهية٬ في هذه الحالة يُكتب خارج القسمة على الصُّورةِ 7\4

2 ÷ 5 = 0,4

في المثل الثالث نتيجة القسمة منتهية٬ في هذه الحالة يُكتب خارج القسمة 0,4 أو على الصُّورةِ 2\5

العدد الكسري أو العدد الجذري هو عدد يُعبِّر على خارج قسمة لعددين صحيحين بشرط أن المقام لا يساوي صفر

يُكتب العدد النسبي على الصُّورةِ أ\ب حيثُ أ ، ب عددانِ صحيحانِ ، ب لا يساوي صفرا

مجموعة الأعداد النسبية هي المجموعة التي تشتمل على جميع الأعداد النسبية، ونستخدم الرمز ك للدلالة عليها

يمكن كتابة أي عدد نسبي بعدد غير منتهي من الأشكال، ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة
 
مثل

3\5 = 6\10 = 9\15 = 12\20 = 15\25 =....

تساوي عددان كسريان

أ، ب، ج، ح أعداد طبيعية غير منعدمة (تخالف صفر)

يكون عددان كسريان، أ\ب و ج\ح متساويان فقط وفقط إذا كان أ × ح = ب × ج

العمليات الحسابية
عملية الجمع و الطرح في المجموعة ك
مجموع عددين كسريين لهما نفس المقام هو عدد كسري بسطه هو مجموع البسطين ومقامه هو نفس المقام
طرح عددين كسريين لهما نفس المقام هو عدد كسري بسطه هو طرح البسطين ومقامه هو نفس المقام

أمثلة :

4\5 + 2\5 = 6\5

4\5 − 2\5 = 2\5

لحساب مجموع عددين كسريين مختلفين في المقام نوحد مقاميهما و نطبق قاعدة حساب مجموع عددين كسريين لهما نفس المقام

لحساب طرح عددين كسريين مختلفين في المقام نوحد مقاميهما و نطبق قاعدة حساب طرح عددين كسريين لهما نفس المقام

أمثلة :

4\5 + 2\7 = 28\ 35 + 10\35 = 38\35

4\3 − 2\5 = 20\15 −6\15 = 14\15

عملية الضرب في المجموعة ك

لحساب جداء عددين كسريين نضرب البسط في البسط و المقام في المقام

مثل :
4\5 × 3 = 12\5

4\5 × 3\2 = 12\10 = 6\5

مقلوب عدد كسري

مقلوب العدد الكسري أ\ب ، أ لا يساوي صفر، ب لا يساوي صفر، هو نظيره ب\أ

أمثلة :

مقلوب العدد الكسري 4\5 هو العدد الكسري 5\4 مقلوب العدد الكسري 2 هو العدد الكسري 1\2

عملية القسمة في المجموعة ك

خارج عدد كسري على عدد كسري هو جداء العدد الكسري الأول في مقلوب الكسر الثاني

مثل :

2\3 ÷ 5\4 = 2\3 × 4\5 = 8\15

تمرين تطبيقي

أحسب وقدم النتيجة على شكل عدد كسري مختزل :

4 مجموعة الاعداد الحقيقية ح

نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد نسبية، لهذا يتم إنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية

الجذر التربيعي

5×5 هي عملية تربيع للعدد 5، ²5 تُقرأ 5 تربيع أو5 أس 2 العدد 25 هو مربع العدد 5

العدد 5 هو الجذر التربيعي للعدد 25

الجذر التربيعي للعدد الموجب س يعبر على العدد الموجب الذي مربعه يساوي س و يشار إليه بـِ :

س √

أمثلة :

الجذر التربيعي للعدد 4 هو العدد 2 ٠

الجذر التربيعي للعدد 1 هو العدد 1 ٠

الجذر التربيعي للعدد 0٫04 هو العدد 0٫2 ٠

مستقيم الأعداد

عدد حقيقي هو قيمة كمية ما تمثَّل عادة على مستقيم متصل. فالعدد الحقيقي يمثله نقطه على خط الاعداد، كما أن كل نقطه على خط الاعداد تمثل عدد حقيقي

 

خاصية:

في حالة ضرب جذر تربيعي لعدد في جذر تربيعي لعدد آخر يتم ضرب العددين في بعضهما تحت إشارة الجذر التربيع

وكذلك في حالة قسمة جذر تربيعي لعدد على جذر تربيعي لعدد آخر يتم قسمة العددين تحت إشارة الجذر التربيعي

أمثلة :

5-الرفع

الضرب المتكرر أو الرفع أو الترقية هو تكرار ضرب العدد في نفسه عدة مرات مثل: 3×3×3 أو 1×1×1×1×1 ولكنها يتم اختصار هذه العملية في صيغة بسيطة فمثلا 3×3×3×3 تُكتب ⁴3 و تُقرأ 3 أس أربعة، وتسمى 3 بالأساس أو المبنى و 4 بالأُس أو القُوّة

الأساس هو العدد الذي يتم تكراره في عملية الضرب المتكرر

الأس هي قوة العدد أو عدد مرات تكراره

فعلى سبيل المثال ²3 أساسها يساوى 3 لأن الثلاثة هي العدد الذي تم تكريره

³6 أساسها يساوى 6 (العدد الذي تم تكريره)، و أسها يساوى 3 لأن الأساس الذي يساوى 6 قد تم تكريرها ثلاثة مرات

تُقرأ العملية ³6 كما يلي : 6 أس 3 أو القوة الثلاثة للعدد 6

ملاحظة

لا داعى لكتابة الواحد إذا كان الواحد أسا لعدد ما لأن أي عدد مرفوع له أس واحد يساوي نفس العدد. على سبيل المثل

6 = ¹6

متطابقات وخصائص

عند ضرب عددين أو أكثر ذى أساسات متساوية فإن الناتج يكون نفس الأساس مرفوع له مجموع الأسس. على سبيل المثل

²5× ⁷5= ⁹5

عند قسمة عددين أو أكثر ذى أساسات متساوية فإن الناتج يكون نفس الأساس مرفوع له حاصل طرح الأسس. على سبيل المثل

⁹5÷ ⁷5= ²5

إذا كان هناك عدد مرفوع لأس والكل مرفوع لأس آخر فإن الناتج يكون نفس العدد مرفوع له حاصل ضرب الأسين. على سبيل المثل (ب³ )⁴ = ب ¹²

ضرب عدد مرفوع لأس بعدد مرفوع لنفس الأس فإن الناتج يكون ضرب العددين مرفوع لنفس الأس. على سبيل المثل

ب³ × حـ³ = (ب × ح)³

الكتابة العلمية

الاصطلاح العلمي أو الكتابة العلمية هو كتابة عدد على شكل جداء عددين, الأول هو عدد عشري قيمته المطلقة محصورة بين واحد وعشرة. أما الآخر فهو العدد 10 مرفوع لأس معلوم

يتم استخدام هذه الكتابة في اختصار الأعداد الكبيرة. وهي تكتب على الشكل التالي: ج.10 ^ص

حيث: القيمة المطلقة للعدد ج أكبر أو يساوي 1 وأصغر قطعا من 10، وص عدد صحيح٠

أمثلة

300 = 3 × ²10

− 7345,79 = − 7,34579 × ³10

7345,79 × ⁵10 = 7,34579 × ³10 × ³10 = 7,34579 × ⁸10

6- نظرية الترتيب

لتكن س٬ ص٬ عددين حقيقيين

س < ص تكافئ ص − س > 0

لتكن س٬ ص٬ ك٬ ثلاثة أعداد حقيقية

س < ص تكافئ س + ك < ص + ك

لتكن س٬ ص٬ ك٬ ثلاثة أعداد حقيقية بحيث ك عدد موجب

س < ص تكافئ ك س < ك ص

لتكن س٬ ص٬ ك٬ ثلاثة أعداد حقيقية بحيث ك عدد سالب

س < ص تكافئ ك س > ك ص

لتكن س٬ ص٬ عددين حقيقيين موجبين
إذا كان س < ص فإن س² < ص²

إذا كان س < ص فإن س√ < ص√٠

لتكن س٬ ص٬ عددين حقيقيين موجبين٬ س لا يساوي صفر،ص لا يساوي صفر

س < ص تكافئ س^-1 > ص^-1

تمرين تطبيقي

لتكن س٬ ص٬ عددين حقيقيين بحيث ص < س
قارن العددين س − 10 و ص − 10 قارن العددين − س و − ص

 
الحسابيات

ليكن أ، ب عددين من مجموعة الأعداد الصحيحة ص، نقول إن ب يَقسِم أ أو ب قاسم لِـ أ أو أ مُضاعف لِـ ب و نكتب ب\أ إذا وجد ك في ص حيث أ = ك ب

مثال
مجموعة مضاعفات العدد 7

عدد أولي، القاسم المشترك الأكبر لعددين

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا

مثال

5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6

اختبار أولية عدد ما

القسمة المتكررة

تتمثل هاته الطريقة في قسمة العدد المراد تحديد أوليته على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من جذره التربيعي، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد المراد تحديد أوليته ليس بالأولي

على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين

مبرهنة التحليل إلى جداء أعداد أولية

في الرياضيات التحليل إلى العوامل أو تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 5×3×3

مبرهنة

المبرهنة الأساسية في الحسابيات أو ما يعرف بمبرهنة التحليل إلى جداء أعداد أولية هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي غير منعدم يمكن كتابته على شكل جداء أعداد أولية، وهذه الكتابة وحيدة

بعض خوارزميات التحليل

هناك طرق عديدة تستعمل لتحليل الأعداد الصحيحة، خصوصا عندما يكون العدد كبيرا

القسمات المتتابعة

تتم بقسمة العدد على التوالي على الأعداد الأولية قسمات تامة والتوقف عند الوصول إلى خارج مساو للعدد 1، أو لعدد أولي

مثال
لتحليل العدد الصحيح 180

العدد وناتج القسمة	عدد أولي مقسوم عليه
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

أي أن 180 = 5×3×3×2×2

القاسم المشترك الأكبر لعددين

القاسم المشترك الأكبر لعددين، هو أكبر عدد يقسم في نفس الوقت العددين معاً بدون أي باقي قسمة.

فمثلاً القاسم المشرك الأكبر للعددين 48 و 60 هو 12.

طريقة حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين

استعمال التعميل إلى جداء أعداد أولية

نكتب العددان على شكل جداء عوامل أولية. ونبحث عن قاسمهما المشترك الأكبر.

فمثلاً القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و 50

تحليل العدد 45 هو 5×3×3 . تحليل العدد 50 هو 5×5×2 . القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و 50 هو 5

استعمال خوارزمية اقليدس

نقسم العدد الأكبر على الأصغر ثم نأخذ باقي القسمة مع العدد الأصغر الناتج ونعيد العملية مع هذين العددين الجديدين حتى نحصل على باقي هو الصفر فيكون العدد الأصغر هو القاسم المشترك الأكبر

مثلا: القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و 50

نقسم العدد 50 على 45 ثم نأخذ باقي القسمة مع العدد الأصغر ونعيد العملية، أي 5 مع 45 ونعيد العملية

نقسم العدد 45 على 5، باقي هذه القسمة هو صفر إذن العدد الأصغر أي 5 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و 50

الأعداد الأولية فيما بينها
يكون عددان صحيحان أوليين فيما بينهما عندما يكون القاسم المشترك الأكبر بينهما مساويا للعدد 1.

خاصية
العددان الصحيحان ا و ب أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا وجد عددان صحيحان خ  و ج بحيث أ خ + ب ج = 1.

المضاعف المشترك الأصغر
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو أصغر عدد صحيح موجب مضاعف لكلا هذين العددين، وهذا يعني أنه من الممكن قسمة المضاعف المشترك الأصغر على العددين بدون باقي قسمة.

علاقة تكافؤ

علاقة انعكاسية
تكون العلاقة ~ علاقة انعكاسية على المجموعة أ عندما يرتبط كل عنصر س من أ مع نفسه في العلاقة ~ ٱي من أجل كل عنصر س من أ ، فإن س ~ س.

علاقة تماثلية
تكون العلاقة ~ علاقة تماثلية على المجموعة أ : إذا كان من أجل كل عنصرين س ، ص  من المجموعة أ، 
س ~ ص  فإن ص ~ س .

علاقة تعدي
تكون العلاقة ~ علاقة تعدي على المجموعة أ : إذا كان من أجل كل ثلاثة عناصر س ، ص ، ل من المجموعة أ، 
س ~ ص و ص ~ ل فإن س ~ ل .

علاقة تكافؤ
تكون العلاقة ع علاقة تكافؤ على المجموعة أ  إذا وفقط إذا كانت علاقة انعكاسية وتماثلية وتعدي معاً.

علاقة تكافؤ ~ هي علاقة تقسم مجموعة ما، إلى عدد من المجموعات الجزئية حيث يصير كل عنصر من المجموعة الأصلية عنصرا من مجموعة جزئية واحدة بالتحديد. يعتبر عنصران من المجموعة متكافئين إذا وفقط إذا انتميا إلى نفس المجموعة الجزئية. ننتج إذن أصناف تكافؤ و نُكوِّن مجموعة جديدة (مجموعة أصناف التكافؤ) تسمى مجموعة خارج القسمة.
ونرمز لمجموعة أصناف تكافؤ المجموعة أ،  بِـ  أ\ ~.

ﺼﻨﻑ ﺘﻜﺎﻓﺅ، مجموعة خارج القسمة
س عنصر من المجموعة أ، ﺼﻨﻑ ﺘﻜﺎﻓﺅ العنصر س ونرمز له بِـ [س] هو المجموعة الجزية من المجموعة أ، [س] = {ص من أ، بحيث  ص ~ س}

ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﺼﻨﻑ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ ﻫﻭ ﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺼﻨف

مجموعة خارج القسمة هيي مجموعة ﻤﻤﺜلي ﺍﻟأﺼﻨاف

حسابيات نمطية، الموافقة بترديد بعدد صحيح ن
ن عدد طبيعي، 
نقول إن عددين صحيحين ا و ب متوافقان بترديد العدد ن يعني أن الطرح ا − ب ينتمي للمجموعة ن ص، أي عدد مُضاعف لِلعدد ن. 
ونرمزا ≡ ب [ن] 
و نقرأ ا يوافق ب بترديد ن.

أمثلة
7 ≡ 3[4]
7 ≡ 3 [4] 
7 ≡ − 3 [10]
7 ≡ 9 [2] 


ص\ ن ص
ن عدد طبيعي أكبر قطعا من 1، الموافقة بترديد بعدد صحيح ن علاقة تكافؤ في مجموعة الأعداد الصحيحة ص، ننتج إذن مجموعة أصناف تكافؤ (مجموعة خارج القسمة بترديد العدد ن) التي نرمز لها بِـ  ص\ ن ص.

ص\ ن ص = {0 ، 1 ،  2 ، 3 ، 4 ، .... ، ن − 1}

مثال

ص\ 2 ص = {0 ، 1}

ص\ 7 ص = {0 ، 1 ،  2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}

alfarjimohammed@gmail.com