المنطق

الرموز الرياضياتية المُستعملة في هذا الدرس

طــ: مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية

صـ: مجموعة الأعداد الصحيحة

كـ: مجموعة الأعداد الكسرية

حـ: مجموعة الأعداد الحقيقية

العبارة

العدد 1 عدد كسري. نص رياضي يحمل معنى صحيح (ص)٠

العدد 2√ عدد كسري. نص رياضي يحمل معنى خاطئا (خ)٠

المكممات

يوجد على الأقل عدد كسري ، 0 < خ < 1 . ونرمز لهذه العبارة بِـ ∃ س∈ كـ ، 0 < خ < 1 ٠ :∃

 يوجد عدد صحيح طبيعي خ وحيد أكبر قطعا من 0  و أصغر  قطعا من 2 :!∃
ونرمز لهذه العبارة بِـ ∃! س ∈ طـ ، 0 < خ < 2 ٠

مهما يكن العدد الحقيقي س، فإن مربع العدد س عدد موجب :∀
ونرمز لهذه العبارة بِـ ∀ س ∈ حـ، س²  ≥ 0  ٠ 

ملاحظة

في نص رياضي ترتيب المكممات جد مهم

العمليات المنطقية: النفي المنطقي؛ الفصل و العطف المنطقي؛ الاستلزام المنطقي؛ التكافئ المنطقي

النفي المنطقي

مثال

 نعتبر العبارة (عـ) ∃ س ∈ حـ ، س²+ 2 س + 5 = 0، هذا النص الرياضي يعني أن المعادلة تقبل حلا على الأقل في مجموعة الأعداد الحقيقية حـ ٠

لكن المعادلة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية حـ لأن مميزها سالب قطعا، و هذا يمكن التعبير عنه بِـ : ∀ س ∈ حـ ، س² + 2 س + 5 ≠ 0

هذا النص الجديد يسمى نفي العبارة (عـ) ونرمز له بِـ (¬عـ) ٠

قاعدة

نفي العبارة ∀س∈ : هـا(س) هي العبارة ∃س∈ : ¬هـا(س) ٠

نفي العبارة ∃س∈ : هـا(س) هي العبارة ∀س∈ : ¬هـا(س) ٠

مثال

نفي العبارة ∀س∈حـ ، س + 1 ≥ 0 هي العبارة ∃س∈ حـ ، س + 1 < ٠0

الفصل و العطف المنطقي

تكون العبارة ((عـ1) أو (عـ2)) صحيحة اذا كانت على الأقل احدى العبارتين (عـ1) أو العبارة (عـ2) صحيحة، ونرمز له بِـ (عـ1) ∧ (عـ2)٠

تكون العبارة ((عـ1) و (عـ2)) صحيحة اذا كانت العبارة (عـ1) و العبارة (عـ2) صحيحتان معا، ونرمز له بِـ (عـ1) ∨ (عـ2)٠

ملاحظة

نفي العبارة (عـ1 أو عـ2) هي العبارة (عـ1 و عـ2) ٠

نفي العبارة (عـ1 و عـ2) هي العبارة (عـ1 أو عـ2) ٠

ملاحظة

في بعض النصوص الرياضية ، يكون الفصل مخفيا. مثلا

س عدد حقيقي، الكتابة س ≥ 1 تعني (س = 0 أو س > 1 ) ٠

الإستلزام المنطقي

مثال

نعلم أن كل عدد صحيح طبيعي مضاعف للعدد 4 هو مضاعف للعدد 2 ٠

يمكننا صياغة ذلك كما يلي: ص عدد صحيح طبيعي مضاعف للعدد 4 ، إذن ص عدد صحيح طبيعي مضاعف للعدد 2 ٠

نقول أن العبارة (عـ1) "ص عدد صحيح طبيعي مضاعف للعدد 4" تستلزم العبارة (عـ2) "ص عدد صحيح طبيعي مضاعف للعدد 2"٠

ونكتب (عـ1) ⇐ (عـ2) ٠

بصفة عامة ليكن عـ1 و عـ2 عبارتين

نقول أن العبارة (عـ1) تستلزم العبارة (عـ2) و نرمز لها بالكتابة (عـ1) ⇐ (عـ2) عندما تتحقق إحدى الحالات

العبارة (عـ1)صحيحة و العبارة (عـ2) صحيحة

العبارة (عـ1) خاطئة و العبارة (عـ2) صحيحة

العبارة (عـ1) خاطئة و العبارة (عـ2) خاطئة

مثال

العبارة ( ن عدد صحيح طبيعي زوجي ⇐ ن + 2 عدد زوجي) عبارة صحيحة

العبارة ( 1 عدد زوجي ⇐ 2 عدد زوجي) عبارة صحيحة

العبارة ( 1 عدد زوجي ⇐ 3 عدد زوجي) عبارة صحيحة

العبارة ( ن عدد صحيح طبيعي زوجي ⇐ ن + 1 عدد زوجي) عبارة خاطئة

ملاحظة

العبارة (عـ1⇐ عـ2) تكون خاطئة فقط إذا كانت عـ1 صحيحة و عـ2 خاطئة

ملاحظة

ليكن (عـ1) ⇐ (عـ2) استلزاما صحيحا٠ فإن (عـ1) شرط كافي لِـ (عـ2) ، و (عـ2) شرط لازم لِـ (عـ1) ٠

الاستلزام المضاد للعكس

الاستلزام (¬عـ2) ⇐ (¬عـ1) يسمى الاستلزام المضاد للعكس للاستلزام (عـ1) ⇐ (عـ2)٠

التكافئ المنطقي

العبارة (عـ1) ⇐ (عـ2) و (عـ2) ⇐ (عـ1) تسمى تكافؤ العبارتين (عـ1) و (عـ2) ٠

ونكتب (عـ1)⇔(عـ2) ٠

و نقرأ (عـ1) تكافؤ (عـ2) ٠

ملاحظة

العبارة (عـ1 ⇐ عـ2) و العبارة (¬عـ1 أو عـ2) لهما نفس قيم الحقيقة، من هنا نستنج

أن العبارة (عـ1 ⇐ عـ2) تكافؤ العبارة (¬عـ1 أو عـ2) ٠

ثم نفي العبارة (عـ1 ⇐ عـ2) يكافؤ العبارة (عـ1 و ¬عـ2) ٠

الإستدلال المنطقي: الإستدلال بالخلف؛ الإستدلال بفصل الحالات؛ الإستدلال بالاستلزام المضاد للعكس؛ الإستدلال بالترجح

الإستدلال بالخُلف

إذا اردنا البرهان على صحة عبارة ما، نفترض أنها خاطئة و نحاول أن نجد تناقضا أو عبارة غير صحيحة٠

مثال:  المماس للدائرة يكون عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس٠

نبدأ البرهان بفرض أن المماس ليس عموديا على نصف القطر وبالسير بالمناقشة

 الصحيحة نأتي إلى أن المماس يقطع الدائرة في نقطتين وبما أن النتيجة تتعارض مع تعريف المماس، ينتج أن الإفتراض ليس صحيحا ويكون المماس عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس٠

مثال

 لتكن س عدد صحيح بحيث س² عدد عدد زوجي٠ بين أن س  عدد زوجي٠

نفترض أن س عدد فردي ، أي ∃ ش ∈ صـ بحيث س = 2ش + 1، س² = ...، إذن س² عدد فردي٠ و هذا يناقض المعطيات، إذن الإفتراض ليس صحيحا و بالتالي نفيه صحيح أي أن س عدد زوجي٠

الإستدلال بفصل الحالات

مثال

حل في حـ المعادلة: |س−3 | = 2 ٠

الحالة الأولى: س ≥ 3 ..... ٠

الحالة الثانية: س < 3 ..... ٠

الإستدلال بالاستلزام المضاد للعكس

العبارة ((عـ1) ⇐ (عـ2)) تكافؤ  العبارة ((¬عـ2) ⇐ (¬عـ1))٠

إذا اردنا البرهان على صحة العبارة (عـ1) ⇐ (عـ2) ٠

فإنه يمكننا عوضا عن ذلك أن نبرهن على صحة العبارة (¬عـ2) ⇐ (¬عـ1)٠

مثال

سنبين بالاستلزام المضاد للعكس بين أن: ∀ (س ،  ص) ∈ طـ ،  س² > 4 ⇐ ( س < −2 أو س > 2 )٠

لنبين عوضا عن ذلك أن (س ≥ −2 و س ≤ 2) ⇐ س² ≤ 4 ٠

أي −2 ≤ س ≤ 2 ⇐ س²  ≤ 4 ٠

بالفعل −2 ≤ س ≤ 2 ⇐ |س| ≤ 2 ⇐ |س|² ≤ 4 ⇐ س² ≤ 4 ٠

الإستدلال بالتراجح
لتكن ي_ن، عبارية متعلقة بِـ ن، بحيث ن عدد صحيح طبيعي، ن ≥ ن₀ 

لنبرهن على أن ي_ن، صحيحة لكل  ن ≥ ن₀

أولا نبين أن العبارة صحيحة عند الرتبة   ن₀

   ثانيا نفترض أن  العبارة صحيحة عند الرتبة ن٬ ثم نبين أن العبارة صحيحة عند الرتبة ن + ٠1

  مثال: ∀ ن ∈ طـ  3^ن  > ن
 أولا: نبين صحة العبارة عند الرتبة 0

 بما أن 1 > 0

  إذن العبارة صحيحة عند الرتبة 0

ثانيا: نفترض  صحة العبارة عند الرتبة ن٬  ثم نبين صحة العبارة عند الرتبة ن + 1 ٠

العبارة صحيحة عند الرتبة ن أي 3^ن   > ن

إذن 3^ن+1 > 3ن
بما أن  3ن  >  ن+ 1 إذن 3^ن+1  >  ن+ 1
إذن العبارة صحيحة عند الرتبة ن + 1 ٠

أي ∀ ن ∈ طـ   3^ن  > ن

ملاحظة

يمكن البرهان على تكافؤ باستعمال الاستلزام المزدوج٠

كي نثبت على صحة تكافؤ ((عـ1)⇔(عـ2)) يمكننا اثبات صحة الاستلزامين ((عـ2) ⇐ (عـ1)) و ((عـ1) ⇐ (عـ2))٠

مثال: س عدد صحيح زوجي تكافؤ س² عدد صحيح زوجي٠

(⇐) نين أولا صحة الاستلزام

س عدد صحيح زوجي أي ∃ ش ∈ صـ بحيث س = 2ش ،  س² = 4س² ، إذن س² عدد صحيح زوجي٠

(⇒) ثم نين صحة الاستلزام

أي س² عدد صحيح زوجي تستلزم س عدد صحيح زوجي٠

و نستعمل مثلا الإستدلال بالاستلزام المضاد للعكس: س عدد صحيح فردي ، أي ∃ ش ∈ صـ بحيث س = 2ش + 1، س² = ...، إذن س² صحيح عدد فردي٠

ملاحظة

كي نثبت على صحة التكافؤات (عـ1)⇔(عـ2) ⇔(عـ3) يمكننا اثبات صحة الاستلزامات (عـ1) ⇐ (عـ2) ⇐(عـ3) ⇐ (عـ1)٠

تمارين

تمرين1

بين أن كل عدد صحيح طبيعي و مربعه لهما نفس الزوجية٠

بين بالإستدلال بالخلف أن 2√ عدد غير كسري٠

تمرين2

مستعملا الاستلزام المضاد للعكس بين أن: ∀ (س ، ص) ∈ طـ ٬ س + ص < 2 ⇐ ( س≥1 أو ص≥1 )٠

تمرين3

بين بالتراجح أن: ∀ ن ∈ طــ  ٬  1 − 4ن مضاعف للعدد ٠3

تمرين4

 بين بالتراجح أن: ∀ س ∈ حـ  ٬ ( 1 + س +  س²  +  س³ ..... + س^ن ) ( 1  −  س² ) = ( 1  −  س^ن+1 )٠

تمرين5

ليكن ن عدد صحيح طبيعي٬ بين أن ن²  +  ن عدد زوجي٠

 ليكن س عدد حقيقي، بين أن إذا كان 2س + 1 مربعا كاملا فإن
س + 1 مجموع مربعين كاملين٠

 ليكن ن عدد صحيح طبيعي٬ بين أن العدد 1  −  9^ن يقبل القسمة على ٠8