المتجهات، تحويلات في المستوى، مبرهنة طاليس

تمارين

تمرين25
 أنظر الشكل جانبه
المستقيمان (ب خ)، (ج ح) متقاطعان في النقطة ا
 ا ب = 4م، ا خ = 6م، ح خ = 7م
احسب طول القطعة  [ب ج]٠
احسب النسبة: مساحة المثلث ا ح خ / مساحة المثلث ا ج ب٠

تمرين26
 أنظر الشكل جانبه
المستقيمان (ب ح)، (ج خ) متقاطعان في النقطة ا
 ا ب = 2م، ب ح = 10م، ب ج = 0.91م
بين أن: ح خ = 5.45م

27تمرين 

 أنظر الشكل جانبه

المستقيمان (ب ح)، (ج خ) متقاطعان في النقطة ا

ح خ = 5.45م ،ا ب = 2م، ب ح = 10م، ب ج = 0.91م

بيِّن إن  : المستقيمان (م ج) و (ح خ) متوازيان 
استنتج  إن  : المستقيمان (م ج) و (م ح) متعامدان

الدرس

1. المتجهات  

تقسم الكميات الفيزيائية الى نوعين:
1. الكميات العددية ( القياسية ) وهي الكميات التي يلزم لتعريفها عدد حقيقي، (رقم ) ووحدة فيزيائية٠ و من الامثلة على الكميات العددية: الطول٬ درجة الحرارة، الحجم، الكتلة، الزمن، الشغل٬ الطاقة ٠٠٠

2. الكميات المتجهة و هي الكميات التي يلزم لتعريفها مقدار عددي (عدد حقيقي موجب) و وحدة فيزيائية و اتجاه و منحى٠  ولا يتم تعريفها إلا اذا اكتملت هذه العناصر٠ و من الامثلة على الكميات المتجهة: السرعة٬ التسارع٬ القوة،  الإزاحة٠٠٠

كل كمية فيزيائية متجهة يمكن تمثيلها رياضياتيا بمتجه٠

فمثلاً ، إذا قلنا تحركت سيارة بسرعة 60 كم/ ساعة فقط ، فهذا لايتم المعنى ، لأن النتيجة تكون مختلفة بإختلاف المنحى أو خط الإتجاه٠

يُمثل المتجه هندسياً بقطعة مستقيمة ، كما في الشكل المجاور ، حيث النقطة ا هي نقطة البداية (التأثير) للمتجه والنقطة ب هي نقطة النهاية ، ويُرمز لها.
كما يُرمز لطول المتجه بالرمز ا ب.

مميزات المتجهة

تتميز المتجهة 
إتجاه المتجهة   هو كل مستقيم يوازي (ا ب)
منحى المتجهة   هو من النقطة  ا إلى النقطة ب
 طول أو منظم المتجهة   هو طول المستقيم [ا ب]

ملاحظة 
المتجهة المنعدمة ليس لها إتجاه

تساوي متجهتين

نقول عن متجهتين أنهما متساويتان إذا كان لهما
نفس الإتجاه 
نفس المنحى 
نفس المنظم

عمليات على المتجهات: مجموع متجهتين، ضرب متجهة في عدد حقيقي، الجداء السُلمي:




خاصية

من أجل كل نقطة أ  و نقطة ب و نقطة جـ من المستوى  فإن


2. التحاكي

التحاكي ذو المركز النقطة ا والنسبة العدد الحقيقي ح هو التحويل النقطي للمستوي (التآلفي) الذي ينقل كل نقطة ب من المستوي إلى نقطة أخرى من المستوي، نرمز لها بـِ تحا(ب)٠

بحيث:
النقاط ا، ب، تحا(ب) واقعة على مستقيم واحد
النسبة الجبرية

= ح

التحاكي ذو المركز النقطة ا والنسبة العدد الحقيقي ح هو التحويل النقطي للمستوي (التآلفي) الذي ينقل كل نقطة ب من المستوي إلى نقطة أخرى تحا(ب) من المستوي المعرفة بالعلاقة بالشعاعية   

=  ح

ملاحظة

التحاكي تحويل (تآلفي) نقطي للمستوي (التآلفي) ينقل كل نقطة من المستوي إلى نقطة أخرى من المستوي، بحيث 

- يحافظ على التوازي٠

- العلاقة الخطية بين النقاط، أي أن أي ثلاث نقاط واقعة على مستقيم واحد تبقى واقعة على مستقيم بعد التحويل٠

- النسب على طول المستقيم، أي من أجل ثلاث نقاط ا، ب، ج، تقع على مستقيم، فإن النسبة |ا ء ب| \ |ب ء ج| تكون محققة قبل وبعد التحويل٠

ملاحظة

التحاكي هو عملية نقل تآلفي و يمكن اعتبارها كنقل خطي  في البنية الإتجاهية ذات المركز النقطة ا٠  .

ملاحظة

التحاكي هو عملية نقل تشابه حيث تضاعف كل المسافات بـ |ح|

وكل المساحات بـ  ح²

يسمى العدد |ح| نسبة التكبير٠

مبرهنة طاليس المباشرة :

 (م₁)و (م₂)  مستقيمان متقاطعان في نقطة ا

ب  وت  نقطتان من المستقيم (م₁) تختلفان عن ا

ج و ح نقطتان من المستقيم (م₂) تختلفان عن ا

بحيث   :   (ب ج) // (ت ح) .

الحالات الثلاث لإنشاء الشكل الهندسي

 

التحاكي و مبرهنة طاليس المباشرة والعكسية

ليكن  (م₁)و (م₂)  مستقيمان متقاطعان في نقطة ا

ب  وت  نقطتان من المستقيم (م₁) تختلفان عن ا

ج و ح نقطتان من المستقيم (م₂) تختلفان عن ا

إذا كان   :   (ب ج) // (ت ح)   فإن  :

و إذا كان

  فإن  : (ب ج) // (ت ح)




 
خاصية (مبرهنة طاليس المباشرة) :

ليكن  (م₁)و (م₂)  مستقيمان متقاطعان في نقطة ا

ب  وت  نقطتان من المستقيم (م₁) تختلفان عن ا

ج و ح نقطتان من المستقيم (م₂) تختلفان عن ا

إذا كان   :   (ب ج) // (ت ح)   

فإن  :  

مبرهنة طاليس العكسية:

خاصية (مبرهنة طاليس العكسية) :

ليكن  (م₁)و (م₂)  مستقيمان متقاطعان في نقطة ا

ب  وت  نقطتان من المستقيم (م₁) تختلفان عن ا

ج و ح نقطتان من المستقيم (م₂) تختلفان عن ا

إذا كانت النقط ا و ب و ت و النقط ا و ج و ح في نفس الترتيب

تحقق  : 
 فإن  : (ب ج) // (ت ح).

3. مساوي القياس

 تعريف: مساوي القياس، في الهندسة، هو بشكل عام تماثل بين الاشكال. أي حركة جامدة، في المستوى أو في الفراغ ، لا تشوه بأي شكل من الأشكال٠

الإنعكاس:
الإنعكاس بالمستقيم (م) هو تحويل أو نسخ، يُحوّل كل نقطة في المستوي إلى " صورتها في المرآة " بالنسبة للمستقيم (م)٠ المستقيم (م)  يُسمى خط الإنعكاس٠


لإيجاد الانعكاس بالمستقيم (م) لنقطة ما، يتم إسقاط خط عمودي على الخط (م) المستعمل كمحور الانعكاس ، ثم مد الخط بشكل مستقيم في الجهة الأخرى من المحور وبنفس المسافة٠
ولتحديد الانعكاس بالمستقيم (م) لرسم ما، يتم تحديد انعكاسات كل النقاط المؤلفة له على الناحية الأخرى من محور الانعكاس المستقيم (م)٠

التماثل: محور التماثل وهو المستقيم الذي يقسم الشكل إلى جزئين متماثلين، مثال على ذلك

    
وقد يكون للشكل أكثر من محور تماثل واحد، مثال على ذلك: للدائرة عدد لايحصى من محاور التماثل ( وهي أقطارها) لأن كل واحد منها يقسم الدائرة إلى جزئين متماثلين٠

الإنزلاق:

الإزاحة أو الإنزلاق هي تحريك كل نقاط المستوي في اتجاه معين، وبمقدار طولي معين، اتجاه الإزاحة وبُعد الإزاحة يحددان بحسب سهم يسهى سهم الإزاحة. يمكن وصف سهم الإزاحة على انه " أمر" ننفذ الإزاحة حسبه٠

الإزاحة تنسخ كل نقاط المستوي على النحو الآتي:
1- كل نقاط المستوي تُنسخ بنفس الاتجاه٠
2- كل النقاط تتحرك بنفس المقدار٠

أمثلة في إزاحة الشكل:

(كل الأبعاد بين النقاط الأصلية والنقاط الناتجة بعد الإزاحة هي أبعاد متساوية )

الدوران:
الدوران: يعني دوران شكل باتجاه معين ( مع أو ضد عقارب الساعة)، حول نقطة معينة (هي مركز الدوران)، بزاوية معينة ( هي مقدار هذا الدوران).
 
يحافظ الدوران على شكل الجسم الذي نقوم بتدويره وعلى حجمه. والشكل الناتج من الدوران مطابق تماما للشكل قبل الدوران.
 
تحويل الدوران يُدير كل المستوي حول نقطة معينة وبزاوية معينة، كل نقاط المستوي تدور حول نفس النقطة وبنفس الزاوية، لذا عند وصف الدوران لا بد من ذكر زاويته ومركزه.
 
يمكن تمييز التحويل الدوراني بأمرين:
1. نقطة دوران.
2. زاوية دوران.

تمرين (تعميم نظرية طاليس): 

في الشكل التالي المستقيمان بالأسود يقطعان الثلاثة  مستقيمات بالأحمر المتوازية٠

قارن نسب الأطوال٠ 

 

alfarjimohammed@gmail.com